Если вы собрали ВСЕ предметы (43 штуки), а достижение вам так и не выдали, выполните три следующих шага:

1. Перенесите сохранения от Control на USB или в облако (для подписчиков PS Plus). Это можно сделать в меню "PS Plus > Управление подпиской > Облачное хранилище.
2. Запустите игру и зайдите в раздел "Выбор Миссии", где выберите "Финал". Игра предложит перезаписать сохранения, соглашайтесь.
3. Начните задание "Основание", как будто вы никогда ранее не играли в дополнение The Foundation. Как только попадете в локацию Основание, подбирайте первый коллекционный предмет - это будет пленка с записью Эша "Журнал 1. Обнаружение".

Поздравляем! Достижение получено! Теперь остается только вернуть сохранения обратно в систему и продолжить играть с того места, где остановились.

Видеогайд (ru) по сбору всех коллекционных предметов.

Большинство гайдов на английском, чтобы легче было сверяться можно переключить язык на английский в главном меню.

Вроде все делал по гайду, но трофей не выпал, воспользовался советом из первой подсказки, забрал первый предмет, ничего, побежал дальше, забрал второй и трофей упал. Видимо они суммируются, так что если пропустили несколько можете рестартануть и добрать по второму кругу.

Текстовый гайд (ru).

Дополню, что у многих, в том числе и у меня, остается ненайденным предмет из раздела "Телефон Прямой Связи" - Маршалл. Называетстя в английской версии End of the World, выдается автоматически на каком-то этапе в дополнении, но из-за неисправленного бага получить трофей можно указанным выше способом.

Видеогайд (en).

Чтобы упростить сбор оставшихся предметов и не бегать по всем локациям, переведите игру на английский язык, перейдите по видео в подсказке theMiyazakiSoul, скопируйте из описания под видео список всех коллекционные предметы и вычеркивайте те которые уже собрали по ходу игры, оставшиеся соберете в разы быстрее, чем бегать по всему видео и искать все подряд.

Трофей не выпадет пока не побываете во всех локациях и не пройдете все основные дополнительные миссии!

Играете в своё удовольствие, проходите всё DLC, собирая по пути что попадется.
Потом просто перезапускаете DLC через выбор финальной миссии и начинаете сначала, подбирать всё что попадется, где то на 10 выпадет троф.
То есть следить за тем, что уже собрали а что нет не надо, тут главное количеством набрать.
Никакие видеогайды не нужны и искать ничего не надо.

Для получения этого трофея нужно собрать 57 предметов, к сожалению гайти видео или гайд где указаны все 57 предметов мне не удалось найти. Видеогайд (en) где указаны 43 коллекционных предмета, те которые я пропустил как раз оказались в этом видео.

Видеогайд (en) по всем собираемым предметам "основания".

Я собрал 50 из 57, потом перезагрузил дополнение и пошел собирать уже поднятые в первом прохождении. Оказалось они суммируются! Не знаю баг это или нет, но трофей выпал.

В видеогайд из подсказки kragot автор не собирает ближайшие предметы по очереди, а мечется по всей карте.
Переключаете язык интерфейса на английский. В описании к видео автор указал тайминги к предметам в алфавитном порядке. Просто сверяете чего у Вас нет по списку и собираете.

Видеогайд (en) для сбора коллекционных предметов, скрытых мест и статуэток Манэки-нэко по порядку.

Работает по сей день. Пропустил видимо три колекционки, не стал парится с гайдом, перезапустил длс и подняв первые 3 записки выпал троф

Можно запустить заново это длс и собрать сколько не хватает, всё сумируется.

Если читать всё не планируете, проще сделать так:
1. перед началом дополнения листаем все документы, собранные до него, чтобы найденные в Основании документы отображались, как новые;
2. собираем документы в процессе, но не открываем до конца DLC;
3. после завершения прохождения переключаемся на английский язык, сортируем документы по "Новым" и по видеогайду (en) вычеркиваем собранные нами, а по таймкодам ищем остальное.

У меня тоже не получилось выбить достижение по гайду, показывало 56/57.
Решил пока добить другие достижения и потом перезапустить дополнение (как и советовали выше).
Пошел выполнять квест Пройти доп. миссию: «Дж. Фейден, звезда «Быстрой платформы»».
После выполнения миссии и получения за нее достижения, выпал и трофей на собираловку