В принципе, трофей можно получить по сюжету, собирая апгрейды, а также патроны. Однако получение награды может значительно ускорить любой чекпоинт с находящимся под рукой контейнером с оружием - собираем патроны, умираем, начинаем заново с чекпоинта и так до победного конца. Как вариант, таким местом может послужить начало Акта 3-1 (первый чекпоинт, как раз перед встречей с новым типом робота "Романов").

Вы получаете апгрэйд на оружие когда подбираете его на поле боя. Но апгрейд дается только в том случае когда у вас это оружие в инвентаре и у него(внимание) полный боезапас! В противном случае вы просто соберете патроны. Если вы хотите прокачать любимую пушку то пореже ей пользуйтесь(звучит конечно странно но это так).

Я тоже добавлю маленькую подсказку Трофей вы получите когда прокачаете хотя бы одно оружие

Я получил в самом начале - прокачав Лазерную пушку, всего тремя апгрейдами!
Для ускоренной прокачки оружия рекомендую следующий способ. Имея оружие с не полным боезапасом - не подбирайте сразу аналогичные виды оружия! Выберите его и поменяйте на другое. Благо практически всегда огромный выбор разного оружия. Затем - подберите НОВОЕ, такого же вида, как старое, оружие, но с полным боезапасом (!), которое вы хотели улучшить. После этого, подбираете старое оружие, которое выбросили в начале (с не полным боезапасом) - и оно улучшится!

проще всего сделать в Акте 3-4 когда движетесь по монорельсовой дороге . Там 4 снайперки. Сразу же поднимаете тревогу, собираете все снайпы и ждите, когда корабль разрушат. И так до победного. Ушло минут 10 с нуля