Трофей делается в режиме «Карьера» (Career), в котором вам нужно выполнить один из контрактов.
Подробно каждый этап от начала до конца, для тех кто не хочет разбираться:
Start Game > Start New > Выбираем пункт Career и начинаем > В космическом центре, выбираем здание Mission Control > Выбираем себе контракт для выполнения, самый простой это Launch our first vessel!, подтверждаем его и выходим назад в космический центр > Выбираем здание Vehicle Assembly Bulding и строим там простейшую ракету > Например ставим Mk1 Command Pod и добавляем к нему RT-5 "Flea" Solid Fuel Booster > Нажимаем кнопку OPTIONS геймпаде и выбираем Launch > Появляемся на стартовом столе, жмём запуская ракету и трофей ваш.
Видео-гайд: https://www.youtube.com/watch?v=Zvb8xOf09ts